Rođen je 12. septembra 1982. godine u Beogradu.
Na rođenju je dobio ime Franjo (po dedi), ali su zbog toga što je bio izložen zadirkivanju vršnjaka („bilo je i fizičkih okršaja“), roditelji odlučili da mu početkom devedesetih promene ime u Vanja.
Osnovno obrazovanje je stekao u školi „Filip Kljajić Fića“. Završio je Jedanaestu beogradsku gimnaziju i diplomirao na Fakultetu organizacionih nauka u Beogradu.
Vaterpolo karijeru počeo je u Partizanu, za koji je igrao do 2003. godine, a zatim je prešao u „Jadran“ iz Herceg Novog. Posle dve godine provedene u tom klubu prešao je u italijanski „Posilipo“, a nakon toga put ga je vodio u „Pro Reko“ i zagrebačku „Mladost“. Svoju karijeru završio je u „Radničkom“ iz Kragujevca 2013. godine.
Sa reprezentacijom je osvojio srebrnu medalju na Olimpijskim igrama 2004. u Atini i bronzane na OI 2008. u Pekingu i četiri godine kasnije u Londonu. Udovičić je sa reprezentacijom dva puta bio svetski šampion, 2005. godine u Montrealu i četiri godine kasnije u Rimu. Na svetskim šampionatima osvojio je i još po jednu srebrnu i bronzanu medalju.
Tri puta je osvajao titule evropskog šampiona, 2003. u Kranju, 2006. u Beogradu i 2012. u Ajndhovenu. Sa evropskih prvenstva ima još po jedno srebro i bronzu. Sa „Pro Rekom“ bio je dva puta prvak Evrope, a osvojio je Kup Evrope sa „Radničkim“ ove godine. Udovičić je 2010, u izboru Svetske plivačke i vaterpolo federacije (FINA) i magazina Evropske vaterpolo federacije (LEN) izabran za igrača godine. Za državni tim Srbije do sada je odigrao 289 utakmica i postigao 360 golova. Bio je kapiten je vaterpolo reprezentacije Srbije i jedan od najboljih vaterpolista sveta u poslednjoj deceniji.
Na pitanje da li bi ušao u politiku, 2012. je kazao:
„Nikad ne reci nikad, bliska je veza između sporta i politike, jer mi znamo da se ponašamo u kritičnim situacijama. Sportisti jesu tvrdoglavi, ali su naučeni da prihvataju savet.“
Krajem avgusta 2013. prihvatio je poziv da postane ministar omladine i sporta.
Vlada Republike Srbije 24. januara 2014. donela je odluku o obrazovanju Saveta za mlade. Za predsednika Saveta imenovan je Udovičić. Bio je na listi SNS za parlamentarne izbore u martu 2014.
Aprila 2014. godine ponovo je izabran za ministra omladine i sporta. Na toj funkciji je ostao i nakon izbora održanih u aprilu 2016.
Poslednji put ažurirano: 14. 1. 2015.
