Rođen je 1968. godine u Baji u Mađarskoj.
Školovanje je započeo u Santovu, a gimnaziju na srpskom jeziku završio je u Budimpešti. Diplomirao je 1992. na Ekonomskom fakultetu u Beogradu, a postdiplomske studije iz oblasti finansija završio je na Ilinois univerzitetu u Čikagu. Magistrirao je 1995. godine.
Radio je četiri godine u Dojče bank u Frankfurtu, kao regionalni menadžer u Odeljenju za centralnu i istočnu Evropu, a zatim je godinu dana radio u „McKinsey & Company Inc.“ na više projekata.
Kada je 1997. godine upoznao Mlađana Dinkića, započeo je saradnju sa letnjom školom G17 plus.
Krajem 2000. godine dolazi na mesto viceguvernera Narodne banke Jugoslavije (kasnije Srbije) i rukovodi većim brojem sektora, kao i pregovorima o svim programima vezanim za finansijski sektor sa Međunarodnim monetarnim fondom, Svetskom bankom i Evropskom unijom. Bio je najmlađi viceguverner u istoriji Narodne banke.
Međutim, ostavku na funkciju viceguvernera podnosi 2003. godine. Februara 2004. godine, prihvatio je poziciju direktora HVB banke za Srbiju i Crnu Goru, ali se ipak odlučio da se vrati poslu u Narodnoj banci.
Imenovan je za guvernera NBS 25. februara 2004, a sa donošenjem novog Ustava Jelašić je izabran na istu funkciju septembra 2007. godine sa novim petogodišnjim mandatom. Marta 2010. godine podneo je ostavku na mesto guvernera Narodne banke, iz ličnih razloga.
U maju 2011. imenovan je na poziciju direktora Erste banke u Mađarskoj.
Uz mađarski i srpski, Jelašić govori engleski, nemački i ruski jezik.
